কম্বিনেটরিকসে হাতেখড়ি ২য় খণ্ড (প্রোগ্রামিং কনটেস্ট ও গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি সহায়ক বই)

কম্বিনেটরিকসে হাতেখড়ি ২য় খণ্ড বইটির ভূমিকা:

কম্বিনেটরিকসের জগতে তোমাকে স্বাগত! তুমি হয়তো ভ্রূ কুঁচকে ভাবছ কম্বিনেটরিকস আবার কী জিনিস? এটি বীজগণিত এবং জ্যামিতির মতো গণিতের একটি শাখা এবং আধুনিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের আজকের অবস্থানে আসার পেছনে এর অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা আছে। ভাল প্রোগ্রামিং করতে পারার জন্য কম্বিনেটরিকস জানা অত্যাবশ্যক। গণিত অলিম্পিয়াডে ভাল করতে হলেও কম্বিনেটরিকসে দখল থাকতে হয়, কেননা প্রতিবছর বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াডের প্রতিটি ক্যাটেগরিতে বেশ কয়েকটি এবং আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াড (আইএমও)-এ অন্তত একটি কম্বিনেটরিকসের সমস্যা থাকে। বর্তমানে বাংলায় চমৎকার সব গণিতের বই প্রকাশিত হলেও, কেনো যেন কম্বিনেটরিকস বিষয়ে অলিম্পিয়াডের উপযোগী বই খুব বেশি লেখা হয়নি। মূলত সেজন্যই আমি, জয়দীপ ও জাওয়াদ মিলে কম্বিনেটরিক্সের উপরে একটি বই লিখি।

আমরা যখন বইটি প্রকাশ করতে গেলাম, তখন প্রথম বুঝতে পারলাম এটি আকারে একটু বেশিই বড় হয়ে গিয়েছে! তাই দুই খণ্ডে সেটিকে ভাগ করতে হল। কিন্তু তুমি পড়ার সময় ধরে নেবে দুটি খণ্ড মিলিয়ে যেন অখণ্ড একটি বই।

এই বইটি পড়তে তোমার কোন গাণিতিক জ্ঞান লাগবে না; শুধু লাগবে অবসরের খানিকটা সময় ও একটু কৌতূহল। এর একটি বড়ো অংশ জুড়ে রয়েছে গণিত অলিম্পিয়াডের কম্বিনেটরিকস। কারণ, যে অবিস্মরণীয় আনন্দময় সময় আমরা, লেখকেরা, গণিত অলিম্পিয়াড এবং গণিত ক্যাম্পে কাটিয়েছি, আমরা চেয়েছি তার অল্প একটু অংশ হলেও যেন তুমি পাও। আশা করি, এতে পাঠ্যবইয়ের ভারিক্কী ভাষায় লেখা বিন্যাস, সমাবেশ কিংবা সম্ভাব্যতার মতো বিষয়গুলো তোমার চোখে রঙিন হয়ে উঠবে, একইসঙ্গে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি নিতেও এটি কাজে আসবে। আমরা বিশ্বাস করি প্রতিটি মানুষের গণিতের সৌন্দর্য উপভোগ করার মতো মন রয়েছে। কেউ গণিত ভয় পেলে তার দায়ভার মোটেই তার নয়, বরঞ্চ শিক্ষাপদ্ধতির। আমরা যদি তোমাকে এমনভাবে গণিত শেখাতে পারি, ঠিক যেমনভাবে গণিতকে আমাদের চোখে দেখি, তাহলেই আমাদের এই বই লেখা সার্থক হবে।

আমাদের আরেকটি লক্ষ ছিল তোমাদের হাতে একটি নির্ভুল বই তুলে দেওয়া। তাই সম্পূর্ণ বইটি আমরা ল্যাটেক (LaTeX)-এ টাইপসেট করেছি। প্রতিটি বিদেশি নামের সঠিক উচ্চারণ দিতে সর্বোচ্চ চেষ্টা করেছি। পুরো বইয়ের দুশ’র বেশি ছবির প্রায় প্রতিটি Tikz ও Inkscape-এ ভেক্টর গ্রাফিক্স হিসেবে এঁকেছি, যাতে ছাপাখানার সীমাবদ্ধতায় তোমার পড়ার আনন্দটুকু মাটি না হয়। আর ইচ্ছে করেই বেশ মোটা মার্জিন রেখেছি যেন তুমি গণিতবিদ ফার্মার মতো বইয়ের সমস্যাগুলো পাতার ভাঁজেই সমাধান করতে পার, কিংবা নিজের বোঝার সুবিধার্থে কোনো নোট লিখে রাখতে পার। কে জানে, হয়তো এভাবে তুমিও কোনো চমৎকার উপপাদ্য আবিষ্কার করে ফেলবে!

বইটি কীভাবে পড়বে

বইয়ের দুটি খণ্ড ভালোভাবে পড়তে তোমার ছয় মাস থেকে এক বছর সময় লাগবে। প্রথমেই পরিশিষ্ট অংশে গিয়ে বইয়ে ব্যবহৃত গাণিতিক প্রতীকগুলোতে একবার চোখ বুলিয়ে এসো। তাহলে বইটি পড়ার সময় বার বার পরিশিষ্ট অংশে গিয়ে প্রতীকগুলো খুঁজতে হবে না। আর অধ্যায়গুলো ক্রমানুসারে পড়া বাধ্যতামূলক নয়। কোনো একটি অধ্যায় ইন্টারেস্টিং মনে না হলে পরের অধ্যায়ে চলে যেতে পার।

তবে মনে রাখবে, দ্রুত চোখ বুলিয়ে গেলে কোনো গণিতের বই পুরোপুরি বোঝা যায় না। এ জন্য তোমাকে সময় নিয়ে বইটি পড়তে হবে। যদি কোনো অধ্যায় বুঝতে অসুবিধা হয়, কিছুদিন পড়া বন্ধ রেখে আবার বইটি নিয়ে বসতে হবে, কিংবা কোনো শিক্ষক বা বড় ভাইয়া/আপুর সহযোগিতা নিতে হবে। এর পাশাপাশি তোমাকে প্রচুর সমস্যা সমাধান করতে হবে। এ বইয়ের উদাহরণ এবং অনুশীলনীতে বিভিন্ন বিখ্যাত গাণিতিক সমস্যা; আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডের সমস্যা; বাংলাদেশ, যুক্তরাষ্ট্র, রোমানিয়া, রাশিয়া, বুলগেরিয়াসহ বিভিন্ন দেশের গণিত অলিম্পিয়াড এবং গণিত ক্যাম্পের কয়েকশ’ সমস্যা পাবে। আমরা আশা করব অনুশীলনীর সমস্যাগুলো তুমি নিজে নিজে চেষ্টা করবে, যদি একেবারেই সমাধান করতে না পার, তবে বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড ফোরামে (https://matholympiad.org.bd/forum} পোস্ট করবে।

এই সঙ্গে একটি ব্যাপার বলে দেওয়া প্রয়োজন যে, এই ছোট্ট বইটি তোমাকে কেবল কম্বিনেটরিকসের বিস্ময়কর জগতের সঙ্গে পরিচয় করিয়ে দিতে পারবে মাত্র। আইএমও পর্যায়ের কম্বিনেটরিকসের সমস্যা সমাধান করতে হলে এই বইয়ের বিষয়গুলো আরও অনেক বিস্তারিতভাবে জানতে হবে, এবং এর পাশাপাশি ডাবল কাউন্টিং (Double Counting), কম্বিনেটরিয়াল জ্যামিতি (Combinatorial Geometry), গেইম থিওরি (Game Theory) ইত্যাদি আরো অনেক বিষয় সম্পর্কে ধারণা থাকতে হবে। আমার খুব ইচ্ছে ছিলো এমন আরও কিছু বিষয় এই বইয়ে অন্তর্ভুক্ত করতে এবং কিছু বিষয় নিয়ে আরও বিস্তারিতভাবে লিখতে। সময়স্বল্পতার কারণে তা সম্ভব হল না।

বইয়ের প্রায় প্রতিটি অধ্যায়ের শেষ অংশে উচ্চতর গণিত ও কম্পিউটার বিজ্ঞানে কম্বিনেটরিকসের প্রয়োগ নিয়ে লেখা হয়েছে। গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতির জন্য এগুলো পড়া আবশ্যক নয়। তবে বিষয়গুলো আমাদের কাছে মজার মনে হয়েছে। আশা করি তুমিও সেগুলো পড়ে অভিভূত হবে।